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Algèbre relationnelle

Introduction :

L'algèbre relationnelle est un support mathématique cohérent sur lequel repose le modèle relationnel. On peut distinguer trois familles d'opérateurs relationnels :

Les opérateurs unaires (Sélection, Projection) :

• ce sont les opérateurs les plus simples, ils permettent de produire une nouvelle table à partir d'une autre table.

Les opérateurs binaires ensemblistes (Union, Intersection Différence) :

• ces opérateurs permettent de produire une nouvelle relation à partir de deux relations de même degré et de même domaine.

Les opérateurs binaires ou n-aires (Produit cartésien, Jointure, Division) :

• ils permettent de produire une nouvelle table à partir de deux ou plusieurs autres tables.

Sélection

 La sélection (parfois appelée restriction) génère une relation regroupant exclusivement toutes les occurrences de la relation R qui satisfont l'expression logique E, on la note σ(E)R.ou bien (selection( E)R).En d'autres termes, la sélection permet de choisir (i.e. sélectionner) des lignes dans le tableau. Le résultat de la sélection est donc une nouvelle relation qui a les mêmes attributs que R. Si R est vide (i.e. ne contient aucune occurrence), la relation qui résulte de la sélection est vide.

Projection

La projection consiste à supprimer les attributs autres que A₁,… A_n d'une relation et à éliminer les n-uplets en double apparaissant dans la nouvelle relation ; on la note Π(A₁… A_n)R. ou bien (projection(A₁… A_n)R.) En d'autres termes, la projection permet de choisir des colonnes dans le tableau. Si R est vide, la relation qui résulte de la projection est vide, mais pas forcément équivalente (elle contient généralement moins d'attributs).

exemple de projection. 

Union

L'union est une opération portant sur deux relations R₁ et R₂ ayant le même schéma et construisant une troisième relation constituée des n-uplets appartenant à chacune des deux Comme nous l'avons déjà dit, R₁ et R₂ doivent avoir les mêmes attributs et si une même occurrence existe dans R₁ et R₂, elle n'apparaît qu'une seule fois dans le résultat de l'union. Le résultat de l'union est une nouvelle relation qui a les mêmes attributs que R₁ et R₂. Si R₁ et R₂ sont vides, la relation qui résulte de l'union est vide. Si R₁ (respectivement R₂) est vide, la relation qui résulte de l'union est identique à R₂ (respectivement R₁).

Intersection

L'intersection est une opération portant sur deux relations R₁ et R₂ ayant le même schéma et construisant une troisième relation dont les n-uplets sont constitués de ceux appartenant aux deux relations, on la note R₁ ∩ R₂.Comme nous l'avons déjà dit, R₁ et R₂ doivent avoir les mêmes attributs. Le résultat de l'intersection est une nouvelle relation qui a les mêmes attributs que R₁ et R₂. Si R₁ ou R₂ ou les deux sont vides, la relation qui résulte de l'intersection est vide.

Différence

La différence est une opération portant sur deux relations R₁ et R₂ ayant le même schéma et construisant une troisième relation dont les n-uplets sont constitués de ceux ne se trouvant que dans la relation R₁ ; on la note R₁ − R₂.Comme nous l'avons déjà dit, R₁ et R₂ doivent avoir les mêmes attributs. Le résultat de la différence est une nouvelle relation qui a les mêmes attributs que R₁ et R₂. Si R₁ est vide, la relation qui résulte de la différence est vide. Si R₂ est vide, la relation qui résulte de la différence est identique à R₁.

Produit cartésien

Le produit cartésien est une opération portant sur deux relations R₁ et R₂ et qui construit une troisième relation regroupant exclusivement toutes les possibilités de combinaison des occurrences des relations R₁ et R₂, on la note R₁ × R₂.Le résultat du produit cartésien est une nouvelle relation qui a tous les attributs de R₁ et tous ceux de R₂. Si R₁ ou R₂ ou les deux sont vides, la relation qui résulte du produit cartésien est vide. Le nombre d'occurrences de la relation qui résulte du produit cartésien est le nombre d'occurrences de R₁ multiplié par le nombre d'occurrences de R₂.

 Jointure

La jointure est une opération portant sur deux relations R₁ et R₂ qui construit une troisième relation regroupant exclusivement toutes les possibilités de combinaison des occurrences des relations R₁ et R₂ qui satisfont l'expression logique E. La jointure est notée R₁ ▷◁ER₂.ou bien (jointure(R₁ ,ER₂ )

Si R₁ ou R₂ ou les deux sont vides, la relation qui résulte de la jointure est vide.

En fait, la jointure n'est rien d'autre qu'un produit cartésien suivi d'une sélection :

Division

La division est une opération portant sur deux relations R₁ et R₂, telles que le schéma de R₂ est strictement inclus dans celui de R₁, qui génère une troisième relation regroupant toutes les parties d'occurrences de la relation R₁ qui sont associées à toutes les occurrences de la relation R₂ ; on la note R₁ ÷ R₂.ou bien (division(R₁ , R₂ ).Autrement dit, la division de R₁ par R₂ (R₁ ÷ R₂) génère une relation qui regroupe tous les n-uplets qui, concaténés à chacun des n-uplets de R₂, donnent toujours un n-uplet de R₁.La relation R₂ ne peut pas être vide. Tous les attributs de R₂ doivent être présents dans R₁ et R₁ doit posséder au moins un attribut de plus que R₂ (inclusion stricte). Le résultat de la division est une nouvelle relation qui a tous les attributs de R₁ sans aucun de ceux de R₂. Si R₁ est vide, la relation qui résulte de la division est vide.