C P G E Oujda Maple(2) Sup/Spe

Manipulation des polynômes /calculs/équations

Maple permet de travailler sur des polynômes d’une ou plusieurs variables :

• La fonction collect permet de regrouper les termes de même puissance dans une expression polynomiale. Ex : >p :=(x-a)^2*(3*x^3+b+x+2)*(x^2-3*c) ; >expand(p) ;>collect(p,x) ;>factor(%) ;
• NB : le % veut dire l’expression précédente
• La fonction convert permet de transformer les expressions trigonométriques . Ex : >convert(1+tan(x)^2,sincos) ;
• La fonction normal permet de réduire et simplifier les expressions rationnelles. Elle divise par le PGCD mais ne factorise pas. Elle ne simplifie que si le numérateur et le dénominateur sont rationnels. ex : >fr :=(x^4-y^4)/(x^2-y^2) ;>normal(fr) ;
• La fonction rationalize permet de rendre le dénominateur d’un quotient rationnel . ex : >u :=2^(3/4) ;>x :=(1+u)/(1-u) ;>rationalize(x)
• La fonction simplify peut simplifier des expressions polynomiales (voir aide)
• La fonction roots peut donner les racines d’un polynôme : ex >:roots(x^2-2) peut ne rien donner , on peut aider maple :> roots(x^2-2,sqrt(2))
• La fonction fsolve détermine seulement les solutions réelles : ex :>q :=3*x^2-5*x+2 ; >fsolve(q,0) ;
• La fonction sort permet d’ordonner une expression polynomiale :ex : >sort(x+2*x^2+3-2*x)
• Les fonctions igcd et ilcm permettent de calculer le pgcd et le ppmc de 2 nombres : ex :>igcd(12,6) ;>ilcm(12,6) ;
• assume permet de restreindre le champ d'une variable : ex :>assume(x>0);
• La fonction combine permet de réaliser les opérations inverses de la fonction expand . Elle doit toujours être utilisée avec un paramètre indiquant la transformation désirée. Ex :>combine(sin(a)*cos(b),trig) ;

Paramètre	Transformation
trig exp ln power	Linéarisation des expressions trigonométriques Formules exponentielles a*ln(x)àln(x^a) Z^xxZ^y^=Z^x^+y,…….

Variables libres et évaluation:

>restart; ' permet de réinitialiser toutes les variables

>p:=x^2+x+1;

>x:=1;

>p; ' on remarque que p =3 car on a affecté à x la valeur 1 car p est devenu une valeur numérique

Si on réalise alors l'affectation

>q:=x^3+1; 'cela donne 9 ce qui était attendu

On peut transformer à nouveau x en variable libre en lui affectant son nom

>x:='x';

>p; 'donne x^2+x+1;

>q; ' donne 9 puisqu'il a été défini après qu'on a affecté à x la valeur 1;

Exercices :

1) Convertir les expressions suivantes : a) tan(x)+sinh(y) en exponentielle ; b) arcsinh(x) en logarithme ; c) f :=1/(x³(x³+1)) en fractions ; d) g :=1/(2+cos(x)) en tangente puis normaliser g; f:=1/((x+1) ⁷-x⁷-1) en fractions

2) Convertir le nombre 57 en base 4;

3) Normaliser l’expression (x(x-2)/(x-sqrt(2)) ; factoriser ensuite cette expression

4) Utiliser la fonction combine pour faire les transformations suivantes : a) (x^ax^b+e(x)e(y) )à exp ; b) (x^ax^b+e(x)e(y)+sin(x)⁴ )à power ; c) (x^ax^b+e(x)e(y)+sin(x)⁴ )à {trig,exp} 

5) Résoudre l'équation : x³-3x+5=0

6) Déterminer les solutions des expressions suivantes :a) x²-5x<0 ; b){x+y=5,x-y=2}

7) Simplifier l’expression suivante : 1/(x+1)-1/(x-1)

8) Résoudre les inéquations : a) x²-1<0 ; b) x⁴-3x² +x+2<=0

9) Résoudre le système {x+2y+z=0,2x+3y+4z=1,3x+4y+5z=2}

10) Développer puis ordonner les expressions suivantes : (x²+x+1) ^{3 ,} (x²+sin(y)+z) ³ ,cos(3x) , tan(3x)

11) Linéariser l'expression suivante: p:=sin(x) ⁵

12) Réduire la somme suivante puis l'évaluer: ∑ (cos(2k+1)x avec k=0..n+1

13) Résoudre par rapport à y : f:=x²-y³+1=0