Limites :

• La fonction limit permet de calculer des limites d’expressions d’une variable réelle :ex : >p :=ln(tan(x)/(tan(x-1)) ;>limit(p,x=Pi/4) ;
• La syntaxe peut être limit(p,x=a,right) , si x tend vers a+ ,left si x tend vers a- : faites un exemple de votre choix.
• Pour plusieurs variables la syntaxe est :limit(p,{x,y}) ; : faites un exemple de votre choix pour une fonction de 2 variables x et y.

Dérivées

• La fonction diff dérive des expressions : ex : >diff(arctan(x),x) ; >diff(arctan(x),x,x,x) ; > diff(arctan(x),x$4) : dérivées n ièmes
• La fonction D permet de dériver des fonctions : ex :f :=xà(x+2)/(+(x^2+1)^3) ;>f1 :=D(f) ;>f1 ;
• Dérivées partielles des fonctions à plusieurs variables :

>f :=(x,y)àarctan(y/x) ;

>f1 :=D[2](f) ; par rapport à la seconde variable

Développements limités :

Maple permet d’obtenir les développements limités des fonctions en un point à l’aide de la fonction taylor qui correspond aux séries de taylor et la fonction series qui correspond entre autre aux séries de laurent.

>taylor(sin(x),x=0) ;

>taylor((sin(tan(x))-tan(sin(x)),x=0,8) ;

>order(%) ; donne l’ordre du développement limité précédent

>u :=series(sinh(x),x) :v :=series(cos(x),x) ;

>series(u*v,x);

>series(u/v,x);

Développements asymptotiques :

>g :=xàexp(2*x/(1-x^2)) ;

>asympt(g(x),x,5) ; ceci équivaut à taylor((g(x),x=infinity,5)

>f :=int(1/sqrt(4+t^4),t=4..2*x) ;

>asympt(f(x),x) ;

Résolution des récurrences :

On utilise rsolve

>rsolve((u(x)=-3u(x-1)-2*(u(x)-2),u) ;

Exercices :

1) Calculer la limite de f(x)=ln(x+1)/(ln(x)^x-1)ln(x) lorsque x tend vers l’infini

2) Calculer la limite de f(x)=x²-y² lorsque x tend vers 0+ et y vers 0-

3) Calculer la limite de f(x)=exp(1/x) lorsque x tend vers 0+ et 0-

4) Calculer la dérivée 3 ième de 3x⁶-4x⁴-5x+3

5) Dériver la fonction f(x)=(1+x)^-1

6) Calculer le développement limité de (sin(x)/x)^(3/x) à l’ordre 7 au point 0

7) Calculer le développement limité à l'ordre 8 de : p=1/(sin(x) ²-1/(sinh(x) ²)

8) Calculer le développement asymptotique de : p=x²*ln((x+1)/x) à l'ordre 5

Solutions:

7 : series(p,x,8);

8 : series(p,x=infinity,5);